图一：通常，三维拓扑绝缘体在其二维表面上通过“无带隙”态导电，但在其体积内是绝缘的(左)。最近提出的二阶和三阶的三维TIs的一维边缘(中间)零维角(右边)分别具有无带隙态，它们构成了一类新的物质拓扑相。

确定具有特殊性质的物质的新相是凝聚态物理的一个关键目标。最近一个著名的例子是拓扑绝缘体(TIs)的晶体材料的理论预测，其中有些已经在实验室[1]中被确认。TIs在d维空间内部是绝缘的,但在d-1维边界载流子可以像在金属中一样移动。这是因为在这些材料的内部电子基态和第一激发态之间有带隙，但是在它们的边界上，载流子可以移动，从而传导电荷，而无需消耗能量。这种“无带隙”的边界状态对杂质的有害影响的抵制异常强大，而且这种态是当TIs与磁体或超导体耦合时出现的奇异特性的原因。例如，他们为超导涡旋提供了“非阿贝尔”量子统计，可以使涡旋成为量子计算的强大平台。

目前，已有4个研究小组[2-6]在高于一维空间中出确认出一种新的TIs。与传统的TIs不同，这些“高阶”[6]的TIs有d−1维边界,但它们不是通过“无带隙”的状态传导电荷,而是通过自身的行为来导电。n阶TI“无带隙”态不是存在于在d−n维子系统。例如，在三维空间中，二阶TI在不同表面之间的1D边缘上具有无间隙状态，而三阶TI在其0维角上具有无间隙状态(图1)。这种高阶系统构成了物质拓扑相的一个独特的新族。

在一个新的拓扑相位的理论构建中，有几个特性是人们所希望的。首先，拓扑相位应该在简单的模型中实现。第二，应该确定通过相位的边界状态来保护传导的必要对称性，从而确定其拓扑属性。第三，拓扑相位应该符合对微观细节不敏感的描述——对于TIs，这种描述通常是一个场理论，捕捉材料对外界场的量化响应。最后，它的无间隙边界状态不应该来自普通的表面物理，而应该来自拓扑意义上的非平凡体。然而，人们天真地以为似乎可以简单地避开所有这些挑战，通过用1D或2D TIs来“装饰”传统2D或3D绝缘体(拓扑平凡体)的边缘或表面来构建二阶TIs。然而，这并不适用于一般情况。例如，如果一个有限2D系统的每条边都装饰有1D TI，那么系统的四个角中的每一个角都将承载一对“无带隙”态，然而在许多情况下，一个孤立无援的单一无间隙状态在遇到另一个状态时就会被摧毁。在我们的例子中，角一般与电子激发有间隙。这个失败的尝试为构建高阶TIs带来了两个重要的教训:首先，不是所有的低维TIs都是构建高阶TIs的良好构建模块;其次，可能需要额外的对称性来稳定无间隙边界状态。四个研究小组对这个问题采取了不同的方法;综合后，这些方法具有上面列出的所有理想特性。

伊利诺伊大学香槟分校 (the University of Illinois at Urbana-Champaign)的Wladimir Benalcazar和他的同事们[2,3]建立在这样的观察基础上:几个明显的已知拓扑量化现象可以用d维上的广义体偶极矩进行统一。这种现象的例子有晶体[7]中的电荷极化，具有破缺的时间反演对称性的二维Chern绝缘体的霍尔电导，以及3D TIs[9]中的磁电极化率。这些现象也与d−1维无带隙边界状态的存在有关。Benalcazar和他的同事[2,3]提出了一个很自然的问题，即量子化偶极子的图是否能推广到量子化四极子和八极子矩，他们用有效场理论给出了肯定的答案。这使得研究人员能够确认边缘和拐角具有无带隙自由度的拓扑相。关键的是，他们提出电偶极矩只有在存在各种晶体对称性的情况下才会被有力地量化，而边缘和角落的无间隙状态不能在孤立状态下出现——它们的存在与大量拓扑相位的存在密不可分。量子化矩又与电子波函数的拓扑性质有关，比如电荷极化[7]，其中最常见的是贝瑞相(Berry’s phase)。贝瑞相(Berry’s phase)这个量和它的相关关系是拓扑不变量——这意味着它们对物质性质的“平滑”变化不敏感——描述了电子波函数在“布里渊带”上的动量变化时的行为，布里渊带是晶体内允许动量值的周期性集合。

Benalcazar和他的同事[2,3]及来自北京中国科学院的宋志达和他的合作者[4]都利用了另一种对TIs的描述，使得研究人员可以从他们的“Wannier轨道”的结构中推断出这种材料的性质。这些实空间物体类似于原子和分子中的轨道，和动量-空间波函数一样，它们也对贝瑞相(Berry’s phase)敏感。Song和他的同事使用了这种方法，提出了一个简单的二维“角状钛”的例子。角状钛是一种角上有无间隙态但边缘上没有的二维的钛，虽然一般用周期边界条件来定义Wannier轨道，但它们的拓扑性质可能反映在具有物理边界的样品的行为中。在角TI的例子中,当一定厚度的薄层材料保存中心对称点90°旋转对称性(例如,如果样品是正方形),直观来看,每个与这种旋转对称性有关的角有四分之一的电子沃尼埃轨道(Wannier orbital) ,导致无带隙的状态。通过分析Wannier轨道的性质，可以使直观的结果更加严谨[2,3]。

柏林自由大学 (Free University of Berlin)[5]的Josias Langbehn和其他人采用了一个稍微不同的路线，思路类似于前面描述的实验。他们建立二阶钛是通过开发一个算法“粘合”d−1维的钛至d维传统绝缘体的d−1维边界，以这种方式保存无带隙的角落或边缘状态。基于反射对称TI的最新分类[10]，他们阐明了二阶TI符合现有的绝缘体拓扑分类，并表明在保持表面导电的同时可以放宽各种晶体对称性要求。这是扩大高阶TIs实验相关性的重要一步，因为这种对称性很难被精确实现。

最后,苏黎世大学( University of Zurich)的弗兰克·辛德勒(Frank Schindler)和他的同事们[6]混合使用这些技术来研究两种不同类型的二阶三维的TI：一种是具有“手性”的边缘态,电子的流动只有一个方向；一种是“螺旋”态,电子沿两个方向传播,沿自旋锁的方向运动。这些行为分别与二维整数量子霍尔相的一维边缘态和二维TIs一维边缘态中的电子行为类似。令人兴奋的是，辛德勒( Schindler)和他的同事们提出了一种候选的固态材料，可以承载这些新相位。这些候选材料属于已知的TI物理的来源丰富的一类材料，它们可以很容易地用现有的大量实验技术进行研究。

我们尚未讨论这些新研究的其他精细的结果，例如高阶TIs的分类[5,6]和用于确定拓扑不变量的简单公式的推导，我们引导读者阅读原文以了解详情。这项工作提出了几个令人兴奋的新方向。例如，将这些想法从当前非相互作用费米子系统的适用推广到费米子或玻色子的相互作用系统将会很有趣(Song和他的同事已经朝着这个方向[4]迈出了第一步)。在实验方面，现在有两种备选的固态材料[6]、在冷原子气体和光子系统中设计高阶TIs的具体方案[2,3]以及探测角态和边缘态(corner and hinge states）的可行方案[2,3,5,6]。然而，就像在普通的TIs中一样，这些新TIs的受保护传导和其他不寻常的特性也许会得到应用，这些新发现只是理论上得到而不是已经可以应用。总之，这些研究提醒我们：随着我们对拓扑物质的深入研究，可能还会有惊喜的发现。

References

1. Excellent reviews of the prediction and discovery of TIs may be found in M. Z. Hasan and C. L. Kane, “Colloquium: Topological Insulators,” Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010); J. E. Moore, “The Birth of Topological Insulators,” Nature 464, 194 (2010).
2. W. A. Benalcazar, B. A. Bernevig, and T. L. Hughes, “Quantized Electric Multipole Insulators,” Science 357, 61 (2017).
3. W. A. Benalcazar, B. A. Bernevig, and T. L. Hughes, “Electric Multipole Moments, Topological Multipole Moment Pumping, and Chiral Hinge States in Crystalline Insulators,” Phys. Rev. B. 96, 245115 (2017).
4. Z. Song, Z. Fang, and C. Fang, “(d−2d−2)-dimensional edge states of rotation symmetry protected topological states,” Phys. Rev. Lett. 119, 246402 (2017).
5. J. Langbehn, Y. Peng, L. Trifunovic, F. von Oppen, and P. W. Brouwer, “Reflection-symmetric second-order topological insulators and superconductors,” Phys. Rev. Lett. 119, 246401 (2017).
6. F. Schindler, A. M. Cook, M. G. Vergniory, Z. Wang, S. S. P. Parkin, B. A. Bernevig, and T. Neupert, “Higher-Order Topological Insulators,” arXiv:1708.03636.
7. For a review, see R. Resta and D. Vanderbilt, “Theory of Polarization: A Modern Approach,” in Physics of Ferroelectrics: A Modern Perspective, edited by K. Rabe, Ch. H. Ahn, and J.-M. Triscone (Springer, Berlin, 2007), p. 3-68.
8. D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and M. den Nijs, “Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential,” Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982); F. D. M. Haldane, “Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the ‘Parity Anomaly’,” 61, 2015 (1988).
9. X.-L. Qi, T. L. Hughes, and S.-C. Zhang, “Topological Field Theory of Time-Reversal Invariant Insulators,” Phys. Rev. B 78, 195424 (2008); A. M. Essin, J. E. Moore, and D. Vanderbilt, “Magnetoelectric Polarizability and Axion Electrodynamics in Crystalline Insulators,” Phys. Rev. Lett. 102, 146805 (2009); T. L. Hughes, E. Prodan, and B. A. Bernevig, “Inversion-Symmetric Topological Insulators,” Phys. Rev. B 83, 245132 (2011); A. M. Turner, Y. Zhang, R. S. K. Mong, and A. Vishwanath, “Quantized Response and Topology of Magnetic Insulators with Inversion Symmetry,” 85, 165120 (2012).
10. C.-K. Chiu, H. Yao, and S. Ryu, “Classification of Topological Insulators and Superconductors in the Presence of Reflection Symmetry,” Phys. Rev. B 88, 075142 (2013); T. Morimoto and A. Furusaki, “Topological Classification with Additional Symmetries from Clifford Algebras,” 88, 125129 (2013); K. Shiozaki and M. Sato, “Topology of Crystalline Insulators and Superconductors,” 90, 165114 (2014); L. Trifunovic and P. W. Brouwer, “Bott Periodicity for the Topological Classification of Gapped States of Matter with Reflection Symmetry,” arXiv:1707.06306.